先に結論から言うと「持てます」ので安心して下さい。
ただし、いくつかの条件があります。
その条件とは、一定期間待たなければならないというものです。
ご存知の方もいると思いますが、債務整理を行うとブラックリストに載ってしまいます。
一定期間待つというのは、ブラックリストから消えるまでの期間という意味です。

いつから持てるようになる?
ではいつから持てるようになるかということですが、これは債務整理の種類によって違います。
任意整理、個人再生(民事再生)の場合
借金を完済した後から持つことができます。
※信用情報機関の中でも事故情報を登録するところもあります。
自己破産の場合
手続き後およそ10年ほどと言われています。
※上の年数はあくまで概算です、気になる方はご自分で信用情報を調べる事ができるので、確認してみて下さい。
指定信用情報機関CIC:https://www.cic.co.jp/
なお、債務整理の時過払い金がある方は、その過払い金を返済に充てることもできます。
もし、過払い金が借入額より多ければ完済できるだけでなく残りは自分へ返還されます。
ぜひ一度、専門家へ相談してみて下さい。
債務整理したすぐ後にクレジットカードを持ちたい
とはいえ、債務整理も完了しようやく再出発したのだからもうクレジットカードを持ちたい!と思う方もいらっしゃると思います。
しかし、これはほとんどムリです。ブラックリストから消えるのを待ちましょう。
ただし、稀に今まで取引したことのない会社に申し込んだりする事で審査が通るケースもあります。
なお、クレジットカードではありませんが次のカードは持てます。

プリペイドカードは利用OK
PayPayや交通系プリペイドカード等は利用できる事があります。また、家族カード(ご家族が債務整理していない事が条件)やデビットカードもOK。
カード類がすべて使えないわけではありませんので、これだけでもそこそこ不便は感じないと思います。
いっそ考え方を変えてみる
または、考え方を変えてポジティブにとらえてみるのもいいです。
どうせクレジットカードが持てないなら、現金支払いをメインにして毎月の利用額の確認やお金の運用を見直し、二度と同じ生活を繰り返さないような訓練だと思えば10年間は十分な訓練期間になるでしょう。
生まれ変わるという意味ではそれもリスタートではないでしょうか。
債務整理前にやっておくべきこと
ここまでは、債務整理後のクレジットカードについてご説明してきましたが、最後に債務整理をする前にクレジットカードを持っている方に向けた注意事項です。

クレジットカードを持っている人は要注意
債務整理の手続きを始めるとクレジットカードは使えなくなります。
主に、受任通知がクレジットカード会社に届いた時などがそうです。そうなるとクレジットカード会社は強制解約をするのでカードは使えなくなります。
この時、カードの利用残高があったり光熱費の支払いなどを設定していると支払いができないという事になります。
ですので、事前に銀行引き落としなどに変えておく事を忘れないで下さい。
社内ブラックに要注意
ブラックリストからも消えて、晴れてクレジットカードを作ろうと思ったのに審査が下りない。
実は、一度債務整理をした会社のカードは信用情報機関とは別に自社内に独自の信用情報を持っている場合があります。
これがいわゆる社内ブラックというもので、これを消す期間というのはその会社の独自のルールでしょうから、いつまでとは断言できません。
ですので、もし新しくクレジットカードを作る時は、前とは違う会社にするようにしましょう。